集合元素性质、关系、子集公式、基本运算

一、原文

在全国高考中，本节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考知识点

1、集合中元素的性质

确定性，互异性，无序性

2、集合间的基本关系

关系自然语言符号语言子集集合 AAA 中的元素都在集合 BBB 中A⊆BA \subseteq BA⊆B真子集集合 AAA 是集合 BBB 的子集，且集合 BBB 中至少有一个元素不在集合 AAA 中A⫋BA \subsetneqq BA⫋B集合相等集合 AAA、BBB 中的元素相同或集合 AAA、BBB 互为子集A=BA = BA=B

3、子集个数

当 nnn 个元素的集合的子集有 2n2^n2n 个，非空子集有 2n−12^n - 12n−1 个，真子集有 2n−12^n - 12n−1 个，非真空子集有 2n−2(n≥1)2^n - 2(n \geq 1)2n−2(n≥1) 个

4、集合的基本运算

运算自然语言符号语言并集由所有属于集合 AAA 或属于集合 BBB 的元素组成的集合A∪B={x∣x∈A A \cup B = \{x \mid x \in AA∪B={x∣x∈A 或 x∈B}x \in B\}x∈B}交集由属于集合 AAA 且属于集合 BBB 的所有元素组成的集合A∩B={x∣x∈A A \cap B = \{x \mid x \in AA∩B={x∣x∈A 且 x∈B}x \in B\}x∈B}补集由全体 UUU 中不属于集合 AAA 的所有元素组成的集合∁UA={x∣x∈U \complement_U A = \{x \mid x \in U∁U​A={x∣x∈U 且 x∉A}x \notin A\}x∈/A}

二、原文深度解析

1、概念

集合（set）简称集，是一个基本的 [数学模型]，指 [若干] [不同] [对象] 形成的总体

名称解释举例数学模型是使用数学来将一个系统简化后予以描述概率模型若干表示不定量零、一、多、无限不同互不相同{12,0.5}\{\frac{1}{2},0.5\}{21​,0.5} 不是集合对象任何被演绎推理和数学证明正式定义的对象数、集合、函数、表达式、几何形状

其他细节：

集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合

若 xxx 是集合 AAA 的元素，记作 x∈Ax\in Ax∈A

不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合

集合可以包含有限或无限个元素

如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等

2、性质

集合 [元素的性质] 有 [确定性]、[互异性]、[无序性]

名称解释举例元素的性质元素之间的性质，不是指集合之间集合没有互异性，两个集合可以相等确定性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现比王俊凯帅的男孩不构成集合互异性一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的

互异性常考类型：集合相等

已知 {a,ba,1}={a2,a+b,0}\{a, \frac{b}{a}, 1\} = \{a^2, a + b, 0\}{a,ab​,1}={a2,a+b,0}，则 a2022+b2023=________a^{2022} + b^{2023} = \_\_\_\_\_\_\_\_a2022+b2023=________

思考方式 1：从待定元素 →\rightarrow→ 已知值

当 a=a2a = a^2a=a2 时，a=−1a = -1a=−1

当 ba=a+b\frac{b}{a} = a + bab​=a+b 时，b=12b = \frac{1}{2}b=21​，此时 {−1,−12,1}={1,−12,0}\{-1, -\frac{1}{2}, 1\} = \{1, -\frac{1}{2}, 0\}{−1,−21​,1}={1,−21​,0}，不符合题意。

当 ba=0\frac{b}{a} = 0ab​=0 时，b=0b = 0b=0，此时 {−1,0,1}={1,−1,0}\{-1, 0, 1\} = \{1, -1, 0\}{−1,0,1}={1,−1,0}，符合题意。

当 a=a+ba = a + ba=a+b 时，b=0b = 0b=0，此时 {a,0,1}={a2,a,0}\{a, 0, 1\} = \{a^2, a, 0\}{a,0,1}={a2,a,0}

所以 a2=1a^2 = 1a2=1 则 a=−1a = -1a=−1，此时 {−1,0,1}={1,−1,0}\{-1, 0, 1\} = \{1, -1, 0\}{−1,0,1}={1,−1,0}，符合题意。

当 a=0a = 0a=0 时，不符合题意

综上，a=−1a = -1a=−1，b=0b = 0b=0

思考方式 2：从已知值 →\rightarrow→ 待定元素

从 111 出发

当 1=a21 = a^21=a2 时，a=−1a = -1a=−1，同上，a=−1a = -1a=−1，b=0b = 0b=0

当 1=a+b1 = a + b1=a+b 时，此时只能是 b=0b = 0b=0，a=1a = 1a=1，不符合题意。

从 000 出发

只能是 b=0b = 0b=0，此时 {a,0,1}={a2,a,0}\{a, 0, 1\} = \{a^2, a, 0\}{a,0,1}={a2,a,0}，同上 a=−1a = -1a=−1

综上，a=−1a = -1a=−1，b=0b = 0b=0

对比总结:

选取最快的思考方法

都有两个待定，如果由此进行分类讨论，情况太多，故选择从已知值 →\rightarrow→ 待定元素

选择最快的进入点

如果从 111 开始，无法立即确定 a2a^2a2 是 111 还是 a+ba+ba+b 是 111，但从 000 开始，即可立即确定 b=0b=0b=0

务必验证

求出参数后，务必验证是否满足互异性

3、集合之间的关系

空集 ∅\varnothing∅

空集是什么：

年龄大于 200200200 岁的活人

大于 333 小于 222 的实数

绝对值等于 −1-1−1 的实数

以上能构成集合，满足集合的性质，但不包含任何元素

空集的简单考法

已知集合 M={x∣2m

因为 MMM 是空集，所以 MMM 中不包含任何元素，即区间下限大于等于区间上限。

2m>m+12m > m + 12m>m+1 还是 2m≥m+12m \geq m + 12m≥m+1？

大胆猜想，小心求证：先试一下 2m=m+1→m=12m = m + 1 \rightarrow m = 12m=m+1→m=1，恰好 m=1m = 1m=1 符合题意

问取值范围时要用集合来答，即取值范围是 {m∣m≥1}\{ m \mid m \geq 1 \}{m∣m≥1}

子集

如果 [集合 AAA] 中任意一个元素都属于 [集合 BBB] ，则称集合 AAA 是集合 BBB 的子集

名称解释举例集合…集合子集的概念是集合与集合之间元素不能是一个集合的子集

三、子集个数公式证明

证明：若集合 AAA 含有 nnn 个元素，则 AAA 的子集总个数为 f(n)=2nf(n)=2^nf(n)=2n

参考视频如下

证法 1（分类法和递推公式）

第一步：当集合 A=∅A = \varnothingA=∅ 时，其子集只有空集，f(0)=20=1f(0)=2^0=1f(0)=20=1，显然公式成立

第二步：当集合 A≠∅A \ne \varnothing A=∅ 时，设集合 A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}A={a1​,a2​,…,an​} 含有 nnn 个元素

则集合 AAA 的子集可分为两类

分类描述数学语言类 1不含有 a1a_1a1​ 的子集{a2,a3,…,an}\{a_2, a_3, \dots, a_n\} {a2​,a3​,…,an​} 的所有子集类 2含有 a1a_1a1​ 的子集

举个例子：若 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}A={1,2,3,4}

则：AAA 的子集有：{1234}\{1234\}{1234}、{123}\{123\}{123}、{124}\{124\}{124}、{134}\{134\}{134}、{234}\{234\}{234}、{12}\{12\}{12}、{13}\{13\}{13}、{14}\{14\}{14}、{23}\{23\}{23}、{24}\{24\}{24}、{34}\{34\}{34}、{1}\{1\}{1}、{2}\{2\}{2}、{3}\{3\}{3}、{4}\{4\}{4}、∅\varnothing∅

第一类有：{234}\{234\}{234}、{23}\{23\}{23}、{24}\{24\}{24}、{34}\{34\}{34}、{2}\{2\}{2}、{3}\{3\}{3}、{4}\{4\}{4}、∅\varnothing∅

第二类有：{1234}\{1234\}{1234}、{123}\{123\}{123}、{124}\{124\}{124}、{134}\{134\}{134}、{12}\{12\}{12}、{13}\{13\}{13}、{14}\{14\}{14}、{1}\{1\}{1}

第一类共有 n−1n-1n−1 个元素，所以共有 f(n−1)f(n-1)f(n−1) 种子集

第二类可看作第一类每个子集都添加一个元素 a1a_1a1​而成，所以第二类子集个数为 f(n−1)f(n-1)f(n−1)

又由于总子集个数 = 第一类 + 第二类，即

f(n)=f(n−1)+f(n−1)=2f(n−1)f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2f(n-1)f(n)=f(n−1)+f(n−1)=2f(n−1)

重复应用上述递推公式可得

f(n)=2f(n−1)=22f(n−2)=23f(n−3)=⋯=2nf(0)=2n⋅1=2nf(n) = 2f(n-1) = 2^2f(n-2) = 2^3f(n-3) = \dots = 2^nf(0) = 2^n \cdot 1 = 2^nf(n)=2f(n−1)=22f(n−2)=23f(n−3)=⋯=2nf(0)=2n⋅1=2n

证毕！

证法 2（乘法计数原理）

对于集合 AAA 中任意子集 BBB，那么集合 AAA 中元素 aia_iai​ 要么 ai∈Ba_i \in Bai​∈B 要么 ai∉Ba_i \notin Bai​∈/B

根据分步乘法计数原理，从 a1a_1a1​ 到 aia_iai​ 考虑 nnn 步，每一步都有 222 种可能的情况，故 AAA 的子集有 2n2^n2n 个

证法 3（数学归纳法）

第一步：当 n=0,1n=0,1n=0,1 时，f(0)=1,f(1)=2f(0)=1,f(1)=2f(0)=1,f(1)=2 显然公式成立

第二步：假设当 n=kn=kn=k 时公式成立，f(k)=2kf(k)=2^kf(k)=2k

则当 n=k+1n=k+1n=k+1 时，可设 A={a1,a2,…,ak,ak+1}A = \{a_1, a_2, \dots, a_k, a_{k+1}\}A={a1​,a2​,…,ak​,ak+1​}

此时 AAA 的子集可分为两类

分类描述子集个数类 1不含有 ak+1a_{k+1}ak+1​ 的子集{a1,a2,…,ak}\{a_1,a_2, \dots , a_k\} {a1​,a2​,…,ak​} 的子集 =f(k)= f(k)=f(k)类 2含有 ak+1a_{k+1}ak+1​ 的子集f(k)f(k)f(k)

则 f(k+1)=2f(k)=2k+1f(k+1)=2f(k)=2^{k+1}f(k+1)=2f(k)=2k+1

所以当 n=k+1n=k+1n=k+1 时，公式成立

最后根据数学归纳法原理可证得公式对于一切非负整数 nnn 都成立

故证毕！

证法 4（组合数和二项式定理）

二项式定理：(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an−1b1+…+Cnna0bn=∑k=0nCnkan−kbk(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n - 1} b^1 + \ldots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k a^{n - k} b^k(a+b)n=Cn0​anb0+Cn1​an−1b1+…+Cnn​a0bn=∑k=0n​Cnk​an−kbk

当 a=b=1a = b = 1a=b=1 时，等式变为：(1+1)n=2n=Cn0+Cn1+…+Cnn(1 + 1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n(1+1)n=2n=Cn0​+Cn1​+…+Cnn​

组合数：从 nnn 个不同元素中，不管顺序抽出 mmm 个不同元素，其中组合种数称为组合数：Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

首先，设集合 AAA 的元素个数为 nnn，其子集的组成元素个数为 kkk。

当 k=0k = 0k=0 时：∅⟶Cn0\varnothing \longrightarrow C_n^0∅⟶Cn0​

当 k=1k = 1k=1 时：{a1},{a2},…,{an}⟶Cn1\{a_1\}, \{a_2\}, \ldots, \{a_n\} \longrightarrow C_n^1{a1​},{a2​},…,{an​}⟶Cn1​

当 k=2k = 2k=2 时：{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},…⟶Cn2\{a_1, a_2\}, \{a_1, a_3\}, \{a_1, a_4\}, \ldots \longrightarrow C_n^2{a1​,a2​},{a1​,a3​},{a1​,a4​},…⟶Cn2​

…\ldots…

当 k=nk = nk=n 时：{a1,a2,a3,…,an}⟶Cnn\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\} \longrightarrow C_n^n{a1​,a2​,a3​,…,an​}⟶Cnn​

集合 AAA 的子集总个数为：Cn0+Cn1+…+Cnn=∑k=0nCnk=2nC_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k = 2^nCn0​+Cn1​+…+Cnn​=∑k=0n​Cnk​=2n

证毕！

四、补充

1、常见数集

数集符号举例自然数集N\mathbb{N}N0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots0,1,2,3,…正整数集N+\mathbb{N^+}N+1,2,3,…1,2,3,\ldots1,2,3,…整数集Z\mathbb{Z}Z0,1,−1,2,−2,…0,1,-1,2,-2,\ldots0,1,−1,2,−2,…有理数集Q\mathbb{Q}Q实数集R\mathbb{R}R有理数、无理数复数集C\mathbb{C}Ca+bia + bia+bi

2、集合的表示方法

列举法

举例表示大于 111 小于 555 的整数构成的集合A={2,3,4}A = \{2,3,4\}A={2,3,4}绝对值小于 333 的整数构成的集合A={0,−1,−2,,1,2}A=\{0,-1,-2,,1,2\}A={0,−1,−2,,1,2}所有偶数构成的集合A={2,4,6,8,…}A=\{2,4,6,8,\ldots\}A={2,4,6,8,…}第一象限所有的点构成的集合无法列举

描述法

举例表示大于 111 小于 555 的整数构成的集合A={x∣10,y>0,x∈R,y∈R}A=\{x \mid x = (x, y), x > 0, y > 0, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}A={x∣x=(x,y),x>0,y>0,x∈R,y∈R}

文章分类在笔记#高考#数学#集合